تمرین ۱ حد توابع از روی نمودار حسابان یازدهم
نمودار سه تابع $f, g, \text{و } h$ به صورت زیر داده شده است. مقدار حد این توابع در نقطه $x = ۵$، مشخص کنید.
$$\lim_{x \to ۵} f(x) = \dots$$
$$\lim_{x \to ۵} g(x) = \dots$$
$$\lim_{x \to ۵} h(x) = \dots$$
پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۱ صفحه ۱۲۱ حسابان یازدهم
سلام! **حد تابع در یک نقطه** ($x=۵$)، ارتفاعی است که نمودار تابع (از راست و چپ) به آن نزدیک میشود، صرف نظر از اینکه تابع در آن نقطه تعریف شده یا خیر. 🧠
---
### ۱. حد تابع $f(x)$ (نمودار سمت چپ)
* **مشاهده نمودار**: تابع $f(x)$ در $x=۵$ **پیوسته** است (نقطه پر است).
* **نزدیک شدن به $x=۵$**: وقتی $x$ از چپ و راست به ۵ نزدیک میشود، نمودار به ارتفاع $\mathbf{y = ۲}$ نزدیک میشود.
$$\mathbf{\lim_{x \to ۵} f(x) = ۲}$$
---
### ۲. حد تابع $g(x)$ (نمودار وسط)
* **مشاهده نمودار**: تابع $g(x)$ در $x=۵$ دارای **حفره (سوراخ)** است، یعنی $g(۵)$ تعریف نشده است.
* **نزدیک شدن به $x=۵$**: وقتی $x$ از چپ و راست به ۵ نزدیک میشود، نمودار به ارتفاع $\mathbf{y = ۲}$ نزدیک میشود.
$$\mathbf{\lim_{x \to ۵} g(x) = ۲}$$
---
### ۳. حد تابع $h(x)$ (نمودار سمت راست)
* **مشاهده نمودار**: تابع $h(x)$ در $x=۵$ دارای **حفره در ارتفاع ۲** است، اما مقدار تابع به $\mathbf{h(۵) = ۱}$ پرش کرده است (ناپیوستگی برداشتنی).
* **نزدیک شدن به $x=۵$**: وقتی $x$ از چپ و راست به ۵ نزدیک میشود، نمودار به ارتفاع $\mathbf{y = ۲}$ نزدیک میشود.
$$\mathbf{\lim_{x \to ۵} h(x) = ۲}$$
**نتیجه**: حد هر سه تابع در $x=۵$ برابر $\mathbf{۲}$ است، اگرچه مقدار تابع در این نقطه برای هر یک متفاوت است.
تمرین ۲ محاسبه حد توابع از روی نمودار حسابان یازدهم
با استفاده از نمودار، مقدار حد توابع زیر را، در صورت وجود، در نقاط داده شده به دست آورید.
$$\lim_{x \to ۲} (۲x + ۱) = \dots$$
$$\lim_{x \to ۲} (-x^۲ + ۲x + ۴) = \dots$$
$$\lim_{x \to ۳} f(x) = \dots \quad \text{, } f(x) = \begin{cases} ۴ & x > ۳ \\ x + ۱ & x < ۳ \end{cases}$$
$$\lim_{x \to -۱} \sqrt{x + ۱} = \dots$$
پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۲ صفحه ۱۲۱ حسابان یازدهم
برای محاسبه حد توابع در این تمرین، از **پیوستگی توابع جبری** و **حدود یک طرفه** در توابع چندضابطهای استفاده میکنیم. 📈
---
### ۱. $\lim_{x \to ۲} (۲x + ۱)$
* **نوع تابع**: تابع چندجملهای (خطی)، پیوسته در همه جا.
* **محاسبه**: حد برابر با مقدار تابع است.
$$\lim_{x \to ۲} (۲x + ۱) = ۲(۲) + ۱ = \mathbf{۵}$$
---
### ۲. $\lim_{x \to ۲} (-x^۲ + ۲x + ۴)$
* **نوع تابع**: تابع چندجملهای (درجه دو)، پیوسته در همه جا.
* **محاسبه**: حد برابر با مقدار تابع است.
$$\lim_{x \to ۲} (-x^۲ + ۲x + ۴) = -(۲)^۲ + ۲(۲) + ۴ = -۴ + ۴ + ۴ = \mathbf{۴}$$
---
### ۳. $\lim_{x \to ۳} f(x) \quad , \quad f(x) = \begin{cases} ۴ & x > ۳ \\ x + ۱ & x < ۳ \end{cases}$
* **نوع تابع**: تابع چندضابطهای. حد باید با بررسی حد چپ و راست تعیین شود.
* **حد راست ($athbf{x \to ۳^+}$)**: از ضابطه $f(x) = ۴$ استفاده میشود.
$$\lim_{x \to ۳^+} f(x) = \lim_{x \to ۳^+} ۴ = \mathbf{۴}$$
* **حد چپ ($athbf{x \to ۳^-}$)**: از ضابطه $f(x) = x + ۱$ استفاده میشود.
$$\lim_{x \to ۳^-} f(x) = \lim_{x \to ۳^-} (x + ۱) = ۳ + ۱ = \mathbf{۴}$$
* **نتیجه**: چون حد چپ و راست برابرند، حد وجود دارد.
$$\mathbf{\lim_{x \to ۳} f(x) = ۴}$$
---
### ۴. $\lim_{x \to -۱} \sqrt{x + ۱}$
* **نوع تابع**: تابع رادیکالی. $D_f = [-۱, \infty)$. حد باید در نقطه مرزی بررسی شود.
* **حد راست ($athbf{x \to -۱^+}$)**: از داخل دامنه به $-۱$ نزدیک میشویم.
$$\lim_{x \to -۱^+} \sqrt{x + ۱} = \sqrt{-۱ + ۱} = \mathbf{۰}$$
* **حد چپ ($athbf{x \to -۱^-}$)**: تابع برای $x < -۱$ تعریف نشده است (چون عبارت زیر رادیکال منفی میشود).
* **نتیجه**: حد دو طرفه در $x=-۱$ وجود **ندارد**. اما اگر منظور **حد راست** باشد، مقدار آن **صفر** است. (با توجه به نمودار، حد راست مد نظر است.)
$$\mathbf{\lim_{x \to -۱} \sqrt{x + ۱} = ۰}$$
تمرین ۳ محاسبه حد توابع با استفاده از جدول حسابان یازدهم
با تکمیل هر یک از جدولهای زیر، مقدار حد تابع را در نقطه مورد نظر بیابید.
الف) $\lim_{x \to ۰} (-۳x + ۴) = \dots$
| $x$ | $-۱$ | $-۰.۹$ | $-۰.۱$ | $-۰.۰۱$ | $\to ۰ \quad \longleftarrow$ | $۰.۰۰۱$ | $۰.۰۱$ | $۰.۱$ | $۰.۵$ | $۱$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $f(x)$ | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ | $\to ? \quad \longleftarrow$ | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ |
ب) $\lim_{x \to -۱} f(x) = \dots \quad , \quad f(x) = \begin{cases} x - ۴ & x \ne -۱ \\ ۳ & x = -۱ \end{cases}$
| $x$ | $-۲$ | $-۱.۵$ | $-۱.۱$ | $-۱.۰۱$ | $-۱.۰۰۱$ | $\to -۱ \quad \longleftarrow$ | $-۰.۹۹۹$ | $-۰.۹۹$ | $-۰.۹$ | $-۰.۸$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $f(x)$ | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ | $\to ? \quad \longleftarrow$ | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ |
پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۳ صفحه ۱۲۱ حسابان یازدهم
برای محاسبه حد با استفاده از **روش عددی (جدول مقادیر)**، باید خروجیهای تابع را برای ورودیهایی که به نقطه حد (از چپ و راست) نزدیک میشوند، محاسبه کنیم. 🔢
---
### الف) $\lim_{x \to ۰} (-۳x + ۴)$
**تابع**: $f(x) = -۳x + ۴$
| $x$ | $-۱$ | $-۰.۹$ | $-۰.۱$ | $-۰.۰۱$ | $\to ۰ \quad \longleftarrow$ | $۰.۰۰۱$ | $۰.۰۱$ | $۰.۱$ | $۰.۵$ | $۱$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $f(x)$ | $\mathbf{۷}$ | $\mathbf{۶.۷}$ | $\mathbf{۴.۳}$ | $\mathbf{۴.۰۳}$ | $\to \mathbf{۴} \quad \longleftarrow$ | $\mathbf{۳.۹۹۷}$ | $\mathbf{۳.۹۷}$ | $\mathbf{۳.۷}$ | $\mathbf{۲.۵}$ | $\mathbf{۱}$ |
* **نتیجه**: وقتی $x \to ۰$، $f(x)$ از چپ به ۴ و از راست به ۴ نزدیک میشود.
$$\mathbf{\lim_{x \to ۰} (-۳x + ۴) = ۴}$$
---
### ب) $\lim_{x \to -۱} f(x) \quad , \quad f(x) = \begin{cases} x - ۴ & x \ne -۱ \\ ۳ & x = -۱ \end{cases}$
**ضابطه**: برای $x \ne -۱$ از $f(x) = x - ۴$ استفاده میکنیم.
| $x$ | $-۲$ | $-۱.۵$ | $-۱.۱$ | $-۱.۰۱$ | $-۱.۰۰۱$ | $\to -۱ \quad \longleftarrow$ | $-۰.۹۹۹$ | $-۰.۹۹$ | $-۰.۹$ | $-۰.۸$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $f(x)$ | $\mathbf{-۶}$ | $\mathbf{-۵.۵}$ | $\mathbf{-۵.۱}$ | $\mathbf{-۵.۰۱}$ | $\mathbf{-۵.۰۰۱}$ | $\to \mathbf{-۵} \quad \longleftarrow$ | $\mathbf{-۴.۹۹۹}$ | $\mathbf{-۴.۹۹}$ | $\mathbf{-۴.۹}$ | $\mathbf{-۴.۸}$ |
* **نتیجه**: وقتی $x \to -۱$، $f(x)$ از چپ به $-۵$ و از راست به $-۵$ نزدیک میشود. (توجه: $f(-۱) = ۳$، اما مقدار حد $-۵$ است.)
$$\mathbf{\lim_{x \to -۱} f(x) = -۵}$$
تمرین ۴ بررسی وجود حد توابع چندضابطهای حسابان یازدهم
تابع $f$ با ضابطه $f(x) = \begin{cases} ۳x - ۱ & x > ۲ \\ x + ۳ & x < ۲ \end{cases}$ را در نظر بگیرید:
الف) آیا تابع $f$ در نقطه $x=۲$ تعریف شده است؟
ب) با رسم نمودار $f$ و یا نوشتن جدول مقادیر $f$ در همسایگی محذوف ۲ مقدار $\lim_{x \to ۲} f(x)$ را به دست آورید.
پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۴ صفحه ۱۲۱ حسابان یازدهم
سلام! این تمرین مفهوم **حد دو طرفه** را در یک نقطه مرزی تابع چندضابطهای بررسی میکند. 💡
---
### الف) آیا تابع $f$ در نقطه $x=۲$ تعریف شده است؟
* **ضابطهها**: ضابطه اول برای $x > ۲$ و ضابطه دوم برای $x < ۲$ است.
* **بررسی $x=۲$**: هیچکدام از ضابطهها علامت **برابری** ($=, \le, \ge$) را شامل نمیشوند.
* **نتیجه**: $\mathbf{خیر}$، تابع $f$ در نقطه $x=۲$ **تعریف نشده است**.
---
### ب) محاسبه حد $\lim_{x \to ۲} f(x)$
برای محاسبه حد در نقطه مرزی $x=۲$، باید حد چپ و راست را به صورت جداگانه بررسی کنیم.
**۱. حد راست ($athbf{x \to ۲^+}$)**: از ضابطه $x > ۲$ استفاده میشود.
$$\lim_{x \to ۲^+} f(x) = \lim_{x \to ۲^+} (۳x - ۱) = ۳(۲) - ۱ = ۶ - ۱ = \mathbf{۵}$$
**۲. حد چپ ($athbf{x \to ۲^-}$)**: از ضابطه $x < ۲$ استفاده میشود.
$$\lim_{x \to ۲^-} f(x) = \lim_{x \to ۲^-} (x + ۳) = ۲ + ۳ = \mathbf{۵}$$
**۳. نتیجه نهایی**: چون حد چپ و حد راست مساوی هستند، حد دو طرفه وجود دارد.
$$\mathbf{\lim_{x \to ۲} f(x) = ۵}$$
**تفسیر نموداری**: نمودار از چپ به ارتفاع ۵ نزدیک میشود و از راست نیز به ارتفاع ۵ نزدیک میشود. در $x=۲$ یک حفره در $(۲, ۵)$ وجود دارد.
تمرین ۵ حد توابع جزء صحیح و پرش حسابان یازدهم
تابع $g$ با ضابطه $g(x) = \begin{cases} -۱ & x \in \mathbb{Z} \\ ۲ & x \notin \mathbb{Z} \end{cases}$ را در نظر بگیرید:
الف) نمودار $g$ را در فاصله $[-۴, ۲]$ رسم کنید.
ب) با استفاده از نمودار $g$، حدود زیر را محاسبه کنید.
$$\lim_{x \to ۱} g(x) = \dots$$
$$\lim_{x \to \sqrt{۲}} g(x) = \dots$$
پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۵ صفحه ۱۲۱ حسابان یازدهم
سلام! این یک تابع پلهای غیرمعمول است که در تمام نقاط صحیح **پرش** دارد. 📊
---
### الف) رسم نمودار $g$ در فاصله $[-۴, ۲]$
* **برای $x \in \mathbb{Z}$ (اعداد صحیح)**: مقدار تابع $\mathbf{g(x) = -۱}$ است. نمودار در نقاط $-۴, -۳, -۲, -۱, ۰, ۱, ۲$ (و در نقاط صحیح دیگر) شامل **نقاط پر در ارتفاع $y = -۱$** است.
* **برای $x \notin \mathbb{Z}$ (اعداد غیر صحیح)**: مقدار تابع $\mathbf{g(x) = ۲}$ است. در تمام بازههای بین اعداد صحیح (مانند $(-۴, -۳)$, $(-۳, -۲)$ و...) نمودار یک **خط افقی توخالی در ارتفاع $y = ۲$** است.
---
### ب) محاسبه حدود
**۱. $\lim_{x \to ۱} g(x)$ (حد در یک نقطه پرش/صحیح)**:
* **حد راست ($athbf{x \to ۱^+}$)**: وقتی $x$ از راست به ۱ نزدیک میشود، $x \notin \mathbb{Z}$ است. ضابطه $g(x) = ۲$ است.
$$\lim_{x \to ۱^+} g(x) = \mathbf{۲}$$
* **حد چپ ($athbf{x \to ۱^-}$)**: وقتی $x$ از چپ به ۱ نزدیک میشود، $x \notin \mathbb{Z}$ است. ضابطه $g(x) = ۲$ است.
$$\lim_{x \to ۱^-} g(x) = \mathbf{۲}$$
* **نتیجه**: حد چپ و راست برابرند.
$$\mathbf{\lim_{x \to ۱} g(x) = ۲}$$
**۲. $\lim_{x \to \sqrt{۲}} g(x)$ (حد در یک نقطه غیر صحیح)**:
* **نقطه $\sqrt{۲}$**: $\sqrt{۲} \approx ۱.۴۱۴$. این عدد یک **عدد غیر صحیح** است ($\mathbf{\sqrt{۲} \notin \mathbb{Z}}$).
* **نتیجه**: در همسایگی این نقطه، ضابطه تابع **ثابت** $g(x) = ۲$ است.
$$\mathbf{\lim_{x \to \sqrt{۲}} g(x) = g(\sqrt{۲}) = ۲}$$
تمرین ۶ دامنه، همسایگی و تعریف تابع رادیکالی حسابان یازدهم
تابع $f$ با ضابطه $f(x) = \frac{\sqrt{۱ - x^۲}}{x}$ را در نظر بگیرید:
الف) دامنه تابع $f$ را به دست آورید.
ب) دامنه شامل همسایگی محذوف کدام نقطه است؟
پ) آیا این تابع در همسایگی $۰.۹$ تعریف شده است؟
ت) آیا تابع $f$ در همسایگی چپ $x=۱$ تعریف شده است؟ در همسایگی راست $x=۱$ چطور؟
پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۶ صفحه ۱۲۱ حسابان یازدهم
سلام! دامنه این تابع از دو محدودیت اصلی (رادیکالی و کسری) پیروی میکند. 🧠
---
### الف) دامنه تابع $f$
**۱. شرط رادیکالی**: عبارت زیر رادیکال باید نامنفی باشد.
$$۱ - x^۲ \ge ۰ \implies x^۲ \le ۱ \implies |x| \le ۱ \implies -۱ \le x \le ۱$$
**۲. شرط کسری**: مخرج نباید صفر باشد.
$$x \ne ۰$$
**۳. دامنه نهایی**: اشتراک دو شرط.
$$\mathbf{D_f = [-۱, ۱] - \{۰\}}$$
---
### ب) دامنه شامل همسایگی محذوف کدام نقطه است؟
* **همسایگی محذوف**: یک بازه باز متقارن به جز نقطه مرکزی (مانند $(a - \delta, a + \delta) - \{a\}$).
* **بررسی**: دامنه $D_f$ یک بازه گسسته است: $[-۱, ۰) \cup (۰, ۱]$. تنها نقطهای که در مرکز یک همسایگی محذوف درون $D_f$ قرار میگیرد و آن همسایگی، خود $D_f$ است، نقطه $athbf{۰}$ است (اگرچه خود ۰ در دامنه نیست).
* **نقاط مرکزی**: هر نقطهای در بازه $( -۱, ۱)$, غیر از $۰$, در یک همسایگی محذوف قرار دارد. اما اگر منظور بازهای بزرگ است، فقط $athbf{x=۰}$ توسط همسایگی محذوف پوشش داده شده است.
* **نتیجه**: دامنه $D_f$ شامل همسایگی محذوف $athbf{x=۰}$ (مثلاً $(\frac{-۱}{۲}, \frac{۱}{۲}) - \{۰\}$) است.
---
### پ) آیا این تابع در همسایگی $۰.۹$ تعریف شده است؟
* **همسایگی $۰.۹$**: بازهای باز و متقارن شامل $۰.۹$ (مانند $(۰.۸, ۱)$ یا $(۰.۸۵, ۰.۹۵)$).
* **بررسی**: $x=۰.۹$ در دامنه $athbf{D_f = [-۱, ۱] - \{۰\}}$ قرار دارد. یک همسایگی کوچک (مثلاً $(۰.۸۵, ۰.۹۵)$) کاملاً درون دامنه $D_f$ است.
* **نتیجه**: $\mathbf{بله}$، تابع در همسایگی $۰.۹$ تعریف شده است.
---
### ت) آیا تابع $f$ در همسایگی چپ $x=۱$ تعریف شده است؟ در همسایگی راست $x=۱$ چطور؟
* **همسایگی چپ $x=۱$**: بازهای به صورت $(۱ - \delta, ۱)$ (مثلاً $(۰.۹, ۱)$).
* **بررسی**: تمام نقاط این بازه، در دامنه $[-۱, ۱] - \{۰\}$ قرار دارند.
* **نتیجه**: $\mathbf{بله}$، تابع در همسایگی چپ $x=۱$ تعریف شده است.
* **همسایگی راست $x=۱$**: بازهای به صورت $(۱, ۱ + \delta)$ (مثلاً $(۱, ۱.۱)$).
* **بررسی**: برای هر $x > ۱$، عبارت زیر رادیکال ($۱ - x^۲$) **منفی** میشود. تابع تعریف نشده است.
* **نتیجه**: $\mathbf{خیر}$، تابع در همسایگی راست $x=۱$ تعریف نشده است.
تمرین ۷ تعیین پارامتر همسایگی حسابان یازدهم
اگر بازه $(x - ۱, ۲x + ۳)$ یک همسایگی ۲ باشد، مجموعه مقادیر $x$ را به دست آورید.
پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۷ صفحه ۱۲۱ حسابان یازدهم
سلام! یک بازه $(A, B)$ زمانی **همسایگی** نقطه $athbf{a}$ است که دو شرط زیر برقرار باشد:
1. **باز بودن بازه**: $A < B$
2. **شامل بودن نقطه**: $athbf{a}$ باید در بازه $(A, B)$ قرار داشته باشد، یعنی $A < a < B$.
**نقطه مورد نظر**: $athbf{a = ۲}$
**بازه مورد نظر**: $(athbf{A}, \mathbf{B}) = (x - ۱, ۲x + ۳)$
---
### گام اول: شرط شامل بودن نقطه ($A < ۲ < B$)
**۱. شرط چپ**: $x - ۱ < ۲$
$$x < ۲ + ۱ \implies \mathbf{x < ۳} \quad \text{(معادله ۱)}$$
**۲. شرط راست**: $۲ < ۲x + ۳$
$$۲ - ۳ < ۲x \implies -۱ < ۲x \implies \mathbf{x > -\frac{۱}{۲}} \quad \text{(معادله ۲)}$$
### گام دوم: شرط باز بودن بازه ($A < B$)
$$x - ۱ < ۲x + ۳$$
$$x - ۲x < ۳ + ۱ \implies -x < ۴ \implies \mathbf{x > -۴} \quad \text{(معادله ۳)}$$
### گام سوم: تعیین مجموعه مقادیر $x$
مجموعه مقادیر $x$ برابر است با **اشتراک** هر سه شرط $(۱) \cap (۲) \cap (۳)$:
* $athbf{x < ۳}$
* $athbf{x > -\frac{۱}{۲}}$
* $athbf{x > -۴}$
اشتراک $x > -\frac{۱}{۲}$ و $x > -۴$، همان $athbf{x > -\frac{۱}{۲}}$ است.
**اشتراک نهایی**: $\mathbf{-\frac{۱}{۲} < x < ۳}$
**نتیجه**: مجموعه مقادیر $x$ برابر با بازه $\mathbf{(-\frac{۱}{۲}, ۳)}$ است.
